二次函数综合题解题方法总结十四篇

2025-11-08

解答应用题的关键在于掌握解题步骤和基本方法。常用的解题方法包括综合法、分析法、图解法、演示法、消元法、假定法、逆推法和列举法等。掌握这些技巧能有效提升你的应用题解决能力。希望以上内容对你有所帮助。

二次函数综合题解题方法总结

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一、研究考纲，把准方向

为更好地把握高考复习的方向，教师应指导考生认真研读《课程标准》和《考试说明》，明确考试要求和命题要求，熟知考试重点和范围，以及高考数学试题的结构和特点。以课本为依托，以考纲为依据，对于支撑学科知识体系的重点内容，复习时要花大力气，突出以能力立意，注重考查数学思想，促进数学理性思维能力发展的命题指导思想。

二、重视课本，强调基础

近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。例如，高二数学(下)中有这样一道例题：求椭圆中斜率为平行弦的中点的轨迹方程。此题所涉及的知识点、方法在2005年春季高考、2007年秋季高考、2010年秋季高考的压轴题中多次出现。加强基础知识的考查，特别是对重点知识的重点考查;重视数学知识的多元联系，基础和能力并重，知识与能力并举，在知识的“交汇点”上命题;重视对知识的迁移，低起点、高定位、严要求，循序渐进。

有些题目规定了两个实数之间的一种关系，叫做“接近”，以递进式设问，逐步增加难度，又以学生熟悉的二元均值不等式及三角函数为素材，给学生亲近之感。将绝对值不等式、均值不等式、三角函数的主要性质等恰如其分地涵盖。注重对资料的积累和对各种题型、方法的归纳，以及可能引起失分原因的总结。同时结合复习内容，引导学生自己对复习过程进行计划、调控、反思和评价，提高自主学习的能力。

三、突破难点，关注热点

在全面系统掌握课本知识的基础上，第二轮复习应该做到重点突出。需要强调的是猜题、押题是不可行的，但分析、琢磨、强化、变通重点却是完全必要的。考生除了要留心历年考卷变化的内容外，更要关注不变的内容，因为不变的内容才是精髓，在考试中处于核心、主干地位，应该将其列为复习的重点，强调对主干的考察是保证考试公平的基本措施和手段。同时，还应关注科研、生产、生活中与数学相关的热点问题，并能够用所学的知识进行简单的分析、归纳，这对提高活学活用知识的能力就大有裨益。

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第一步：首先要记住零点存在定理

介值定理，中值定理、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论，中值定理最好能记住他们的推到过程，有时可以借助几何意义去记忆。

因为知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。

因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，"单调性"与"有界性"都是很好验证的。再比如直接让考生证明拉格朗日中值定理;但是像这样直接可以利用基本原理的证明题在考研真题中并不是很多见，更多的是要用到第二步。

第二步：可以试着借助几何意义寻求证明思路，以构造出所需要的辅助函数。

一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。

再如数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

第三步：从要证的结论出发，去寻求我们所需要的构造辅助函数，我们称之为"逆推"。

如第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。

在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。

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方法1：调理大脑思绪，提前进入数学情境

考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

方法2：沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神

良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

方法3：“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场

集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

方法4：一“慢”一“快”，相得益彰

有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。

方法5：“六先六后”，因人因卷制宜

在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难

。就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

2.先熟后生。

通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力，

4.先小后大。

小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基矗

5.先点后面。

近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面6.先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。

方法6：确保运算准确，立足一次成功

数学高考题的容量在120分钟时间内完成大小26个题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤，假如速度与准确不可兼得的说，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。

方法7：讲求规范书写，力争既对又全

考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对、对且全，全而规范。会而不对，令人惋惜;对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”。“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。

方法8：面对难题，讲究方法，争取得分

会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分。下面有两种常用方法。

1.缺步解答。

对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题方法是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。还有象完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分。而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。

2.跳步解答。

解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找它途;如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底;另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。

方法9：以退求进，立足特殊

发散一般对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊(如用特殊法解选择题)，化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。总之，退到一个你能够解决的程度上，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决。

方法10：应用性问题思路：面—点—线

解决应用性问题，首先要全面调查题意，迅速接受概念，此为“面”;透过冗长叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”;综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，此为“线”，如此将应用性问题转化为纯数学问题。当然，求解过程和结果都不能离开实际背景。

方法11：执果索因，逆向思考，正难则反

对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，如果顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证，如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。

方法12：回避结论的肯定与否定，解决探索性问题

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

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新学期来的很快，转眼我们就迎来了初二学期的学习阶段。面对这个全新的学阶段，我在感到满身热情的同时，心中也一直察觉到一股压力。眼前，我们很快就要迎来初中的会考，为此，我必须在这个学期的时间里充分抓紧机会去锻炼自己，并完善自己的成绩。

在认真分析了自身的学习情况后，我对自身的学习目标做了如下计划：

一、摆正自身目标

作为一名初二的学生，我目前最需要重视的就是在会考方面的情况，作为初二最重要的考试，随着这个新学期的开始，我也必须在思想上更加的重视和关注，保证自己能在会考前做好充分的准备，考出自己理想的成绩！

为此，在本学期我要认清自己的主要学习目标——生物、地理。这两门科目将是这个学期的都首要目标。

目前来说，地理算是我比较擅长的科目，但仍然不能放松警惕，要积极重视巩固和学习。而反之我在生物的学习方面并不算出色，只能算是勉勉强强。为此，在这个学期里，我要在保持地理和其他的科目的学习的'提升的情况下，将精力主要花费到生物课程的学习上，以此作为基本的目标计划，展开自己的学任务。

二、具体计划

在对上学期自己的学习时间进行了划分之后，我对这学期针对“地理，生物”两门课任务也安排了必要的时间计划。

1.课余时间

每节课的课余10分钟，以及更长一些的午休时间。对于这些时间我要积极的利用起来。现在学习的生物大部分都是一些能硬背的知识，为此虽然是短暂的课间，但用来复习并记下过去学习过的一部分知识已经是绰绰有余了，我要利用课外的时间来累积知识点，并利用午休的时间巩固自己的了解，在生物课的成绩上积极的赶上来。

2.准备好笔记

毕竟是追赶自己的不足，为此将自己不懂的地方做好笔记，并积极的去向老师和同学们请教是更加省时的方法。在这个学期里，我也要更多的和优秀同学建立互助关系，积极的学习和讨论同学们的优点。

3.紧抓基础

除了对自己不足的补充外，对现在擅长的课程我也决不能放松，要在每堂课上重视课堂的每一分钟，积极跟上老师的教学内容。

总之，在这个学期里，我要严格抓紧每一分钟用在有意义的学习上，让自己能改进不足，加紧提升，全面的提高自身学习收获！

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一、学习和奋斗目标

逐渐掌握各个学科的基础知识、基础技能，各个学科成绩平均分在第一学期期末初步定为50-60分，下个学期一模稳定到达70-80分（分值按100分满换算），也就是良好程度。中考考上学校第必须位二中、侨中（80分上），第二定位一中、英才侨中（70分上）。第三定位（60分左右），提议就读里中。

二、具体方法和计划

1、每一天的作息时间安排：6.30分起床（可能的话6点起床）。6.30-6.40刷牙洗脸等。6.40-7.00读英语单词.每次记住14个就能够了，不需要多。7.00-7.30吃饭和骑车上学。然后按照学校规定执行。吃饭时或吃晚饭能够看会新闻（当然吃饭时看电视对身体不好）。放学回家到7.00为自由设定时间，能够帮忙家务、看会新闻、回映英语单词古诗、朋友聊天什么的不能看小说、电影、电视连续剧了。7.00到10.00是晚上学习时间。也能够短点，但不要少于2个小时。保证每一天用于学习的时间要9个小时以上。10.00睡觉，睡前要像放电影似的，放映下今日学的知识，特别是英语单词。不要晚过10.30睡，要保证有充足的睡眠时间。星期天是唯一没上学的一天，你能够自由安排下时间。最好把教师布置的作业完成，在抽3到5个小时复习。

2、新课学习和复习同步进行，要做到2不误。新课学习包括预习、课堂听讲、课后复习3大要点，预习能够在晚上抽时间预习，或者是在课间休息抽几分钟浏览下课文，在课本上划出重点（提议：除英语个别学科外，其他学科能够试试）。课堂听讲结合课堂笔记当堂记住本堂课的重点，要点，有时间要做下练习（掌握知识点的应用）。当天上午学习学科的重要知识点能够在午写时间复习，结合每节课优化设计上的随堂练习（加强记忆今日课堂学到的知识点）。有时间能够在做下优化作业部分（学会知识的运用）。有时候时间不够能够留在晚上（因为每一天学习的'学科难度有时候不一样）。晚上抽时间复习午时学的各个学科，同时完成各个学科的作业（时间长短能够按具体情景定，晚上7点到8点30分左右）。

3、把初二的复习计划分为三大阶段。每个阶段有不一样的任务、不一样的目标和不一样的学习方法。

第一阶段，是整个初二第一学期时间。这个阶段时间大约五个月，约占整个初二复习的一半时间左右。第一阶段能够称为基础复习阶段。每一个科目都在逐册逐章节地进行复习，你应当和学校的教师步伐一致，进行各科的细致复习。要充分利用这五个月，把每一科在中考范围内的每个知识点都逐章逐节、逐篇逐段，甚至农字逐句地复习到，应做到毫无遗漏。这个阶段，复习中切忌急躁、浮躁，要明白“万丈高楼增地起”，仅有这时候循序渐进、查缺补漏、巩固基础，才能在中考中取得好成绩;仅有这时候把边边沿沿、枝枝杈杈的地方都复习到，才能在今后更多的时间去攻克一些综合性、高难度的题目。

第二阶段从寒假至第一次模拟考试前，时间大约四个月。这个阶段是复习工作中的最宝贵的时期，堪称复习的“黄金期”。之所以这样说，是因为这个时期复习任务最重，也最应当到达高效率的复习。也能够将这个阶段称为全面复习阶段。你的任务是把前一个阶段中较为零乱、繁杂的知识系统化、条理化，找到每科中的一条宏观的线索，提纲挈领，全面复习。这个阶段的复习，直接目的就是第一次模拟考试。第一次模拟教育是中考前最重要的一次学习检验和阅兵，是你选报志愿的重要依据。一模成功，能够使人信心倍增，但不要沾沾自喜;一模受挫，也不要恢心丧气，妄自菲薄。应当为一模恰当定位，在战略上藐视它，在战术上重视它。

第三阶段从一模结束至中考前，时间大约1个多月。这是中考前最终的一段复习时间，也能够称为综合复习阶段。随着中考的日益迫近，有些学生可能心理压力会越来越重。所以，这个时期应当以卸包袱为一个重要任务。要善于调节自己的学习和生活节奏，放松一下绷得紧紧的神经。古人云：“文武之道，一张一弛”，在此时，每一天不必复习得太晚，要赶快调整初二一年紧张复习中构成的不当的生物钟，以保证充沛的精力。另外，这个时期不必再做过多的过量的习题，更不应死抠难题和偏题，应当做少而精的练习。比如，花些工夫研究研究历年中考的题目，因为这些题目既是经过千锤百炼的精品，又是中考命题人意志的直接体现，可谓字字珠玑。临近中考前一个星期，能够浏览下文科的知识，比如语文、政治、历史等（不要硬记），“临时抱佛脚”即时记忆，应付文科考试，一般都是考过没多久就忘了的。

具体在各个学科以前知识的复习时每次不能贪多，一个晚上8.30到10.00复习一科就能够了。能够这样安排：星期一复习语文（个人认为语文不需要去看初一和初二的课文），星期2复习数学，星期3复习英语，星期4复习物理，星期5化学（能够抽半个多小时加强其他学科的。化学初二才学，能够复习的不多，但下个学期就要注意复习了），星期6政治，星期天历史。具体各科学习目标和方法如下（除化学外，各科学科我不太熟悉，有什么地方有问题能够提出来改善）

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一、暑假计划内容

1、每天进行一小时以上的体育锻炼（最好是室外、能集体运动就更棒了）;

2、要关心时事新闻，关心社会生活（可通过电视或报刊）;

3、每天做一些力所能及的家务，帮助父母、锻炼自己（比如洗碗、取报、整理房间等）;

4、每天和父母做必要的.交流（可在餐桌上和一起看电视时）;

5、读一本名著，古今中外皆可;

6、每天保质保量地完成寒假作业。

二、暑假计划时间表

7：00起床

8：00做暑假作业或复习上学期

11：00吃饭

11：30娱乐

13：00做暑假作业或预习

15：00看课外书

16：30休息

17：00吃饭

18：00预习新课

20：30娱乐

21：30睡觉

三、在完成暑假作业的同时再去完成以下的学习内容

1、数学

自学下册前3章，做相应习题;做下册学习笔记，习题册一本;

2、科学

自学下册前3章，做相应习题;做上册实验报告，下册的学习笔记;

3、英语

记背下册英语单词，复习上册单词词组;

4、语文

记背下册诗词、文言文，抄写一遍诗词、文言文，书下注解也要抄写一遍，练习册一本，作文完成3篇，读书笔记完成2篇，小论文完成1篇。

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在期末后，我认真的反思了自己在学习中的问题，我认识到自己不能再这样继续下去，就像老师说的：“学习如逆水行舟，不进则退。”我没有达倒自己定下的目标，就已经是一种后退的表现。为此，我检讨了自己，并对这个寒假的时间做了一个学习的计划安排如下：

一、准备计划

在寒假到来之前，我要对这次的学习计划做好准备。

首先，在放假前，我要整理好过去学习的笔记和资料，检查自己的笔记是否有遗漏，是否有因为自己不认真记录所造成的空缺，保证自己的资料充足。

其次，我要尽早为自己准备复习的'习题，在习题的选择方面，我需要得到老师的帮助，所以我也要尽早准备。

最后，因为老师会提早的布置作业，我要尽早的将寒假作业完成一些，为自己后面的学习空出更多的时间。

二、学习计划

在计划时，我认识到寒假因为节日众多，所以其实能利用起来的时间并不多，为了能更好的利用时间，我要在寒假合理的安排和规划自己的时间。并且在实行的时候，要严格的要求自己，保证自己不要再次因为个人的管理问题，导致打乱了自己的学习计划，最终功亏一篑。

以下是我一天的学习安排：

早晨：背诵语文的课本以及英语的单词。

除了课文外，我还要准备一些作文书籍，在日常累积自己的好词好句。其次，在英语的单词记忆方面，在完成了背诵之后，我还要抽时间自己去默写，让自己对单词的记忆更加牢固。

上午：完成数学的练习。

上午的时间我头脑比较清醒，适合做数学题的练习，如果出现不会的问题，记得记下，并想办法解决。实在解决不了的，要做好标记，有机会向同学和老师请教。

下午：其余科目的复习。

对于三主课之外的必修课，我要尽早安排顺序进行有序的复习。保证自己能充分有效的利用时间。

晚上：完成作业，总结一下。

晚上要完成定量的作业，要是能尽早的完成，就能对今后节省下更多的时间。在完成之后，要写下日记，对自己这一天的工作做好总结。

三、结束语

寒假的学习时间实在算不上长，通过这次的问题，我也开始反省自己在学习上管理问题。这个学期的问题确实拖了我很多的学习进度。为了改正自己的问题，我一定要好好的改正。

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1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。

2、函数定义域的解题思路：

⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。

⑵偶次方根的被开方数不小于0。

⑶对数式的真数必须大于0。

⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

⑸指数为0时，底数不得为0。

⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3、相同函数

⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。

⑵定义域一致，对应法则一致。

4、函数值域的求法

⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。

⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

5、函数图像的变换

⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵伸缩变换：在x前加上系数。

⑶对称变换：高中阶段不作要求。

6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。

⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。

⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

7、分段函数

⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。

⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。

⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。

8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g的复合函数。

高一数学必修五知识点总结：

空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

(1)共面：平行、相交

(2)异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)

两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

(1)有且仅有一个公共点——相交直线;

(2)没有公共点——平行或异面

高一数学直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

空间向量法(找平面的法向量)

规定：

a、直线与平面垂直时，所成的角为直角。

b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角。

由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]。

最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。

三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

直线和平面垂直：

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

(1)有且仅有一个公共点——相交直线;

(2)没有公共点——平行或异面

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一、变量与函数

[变量和常量]

在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。

[函数]

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值。

[自变量取值范围的确定方法]

1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。

当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数;当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数;当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。

2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

[函数的图像]

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

[描点法画函数图形的一般步骤]

第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);

第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);

第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。

[函数的表示方法]

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

[正比例函数]

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数(proportional function)，其中k叫做比例系数。

[正比例函数图象和性质]

一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1，k)的直线，我们称它为直线y=kx，当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。

(1) 解析式：y=kx(k是常数，k≠0)

(2) 必过点：(0，0)、(1，k)

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限;k<0时，图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴

[正比例函数解析式的确定]——待定系数法。

1. 设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)

2. 把已知条件(一个点的坐标)代入解析式，得到关于k的一元一次方程

3. 解方程，求出系数k

4. 将k的值代回解析式

二、一次函数

[一次函数]

一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k 0)函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。

[一次函数的图象及性质]

一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(- ，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。（当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k 0)

(2)必过点：(0，b)和(- ，0)

(3)走向： k>0，图象经过第一、三象限;k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限;b<0，图象经过第三、四象限；

直线经过第一、二、三象限；

直线经过第一、三、四象限；

直线经过第一、二、四象限；

直线经过第二、三、四象限。

(4)增减性： k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小。

(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴。

(6)图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位;

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位。

[直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系]

(1)两直线平行：k1=k2且b1 b2

(2)两直线相交：k1 k2

(3)两直线重合：k1=k2且b1=b2

[确定一次函数解析式的方法]

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式;

(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程;

(3)解方程得出未知系数的值;

(4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果。

[一次函数建模]

函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题，建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题。

正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线，这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义。

从图象中获取的信息一般是：

(1)从函数图象的形状判定函数的类型;

(2)从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义。

解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数。

三、用函数观点看方程(组)与不等式

[一元一次方程与一次函数的关系]

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值。

[一次函数与一元一次不等式的关系]

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围。

[一次函数与二元一次方程组]

(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= 的图象相同。

(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y= 和y= 的图象交点。

三个重要的数学思想：

1.方程的思想。数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中数学最重要的就是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是方程。

2.数形结合的思想。任何一道题，只要与形沾边，就应该根据题意中的草图分析一番。这样做，不但直观，而且全面，整体性强。

3.对应的思想。

初中生数学成绩的提高，需要靠自己勤加练习和脚踏实地的去接受数学。

合数的概念：

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

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一般地，函数y=logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

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一、增函数和减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

二、单调区间

单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大（或减小）恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间。

一、指数函数的定义

指数函数的一般形式为y=a^x(a0且≠1) (x∈R)。

二、指数函数的性质

1.曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）

2.曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）

一、对数与对数函数定义

1.对数：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

2.对数函数：一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

二、方法点拨

在解决函数的综合性问题时，要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决，然后再整合解决的结果，这也是分类与整合思想的一个重要方面。

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一、幂函数定义

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

二、性质

幂函数不经过第三象限,如果该函数的指数的分子n是偶数,而分母m是任意整数,则y0,图像在第一;二象限.这时(-1)^p的指数p的奇偶性无关。

如果函数的指数的分母m是偶数,而分子n是任意整数,则x0(或xy0(或y=0),图像在第一象限.与p的奇偶性关系不大。

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学习目标：

1、能解释二次函数的图像的位置关系;

2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系(转化)，感受形数结合的数学思想等。

学习重点与难点：

对二次函数的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点;难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。

学习过程：

一、知识准备

本节课的学习的内容是课本P12-P14的内容，内容较长，课本上问题较多，需要你操作、观察、思考和概括，请你注意：学习时要圈、点、勾、画，随时记录甚至批注课本，想想那个人是如何研究出来的。你有何新的发现呢?

二、学习内容

1.思考：二次函数的图象是个什么图形?是抛物线吗?为什么?(请你仔细看课本P12-P13，作出合理的解释)

x -3 -2 -1

0 1 2 3

类似的：二次函数的图象与函数的图象有什么关系?

它的对称轴、顶点、最值、增减性如何?

2.想一想：二次函数的图象是抛物线吗?如果结合下表和看课本P13-P14你的解释是什么?

-8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

类似的：二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系 ?它的对称轴、顶点呢?它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢

三、知识梳理

1、二次函数图像的形状，位置的关系是：

2、它们的性质是：

四、达标测试

⒈.将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。

将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位，所得的抛物线的函数式是。

将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象;

将y=2x2-7的图象向平移个单位得到可由 y=2x2的图象。

将y=x2-7的图象向平移个单位可得到 y=x2+2的图象。

2.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x 轴平移了个单位;

抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴平移了个单位.

抛物线y=-3(x-1)2的顶点是 ;对称轴是 ;

抛物线y=-3(x+1)2的顶点是 ;对称轴是 .

3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧，即当x 时， y随着x的增大而 ; 在对称轴(x=1)右侧，即当x 时， y随着x的增大而 .当x= 时，函数y有最值，最值是 ;

二次函数y=2x2+5的图像是，开口，对称轴是，当x= 时，y有最值，是。

4.将函数y=3 (x-4)2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是 ;

将函数y=3(x-4)2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ;

5.把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3(x-h)2的图象，则a= ，h= .

函数y=(3x+6)2的图象是由函数的图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向，对称轴是，顶点坐标是，当x 时，y随x的增大而增大，当x= 时，y有最值是 .

6.已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1，x2(x1x2)， x1，x2分别是A，B两点的横坐标)时，函数值相等，

则当x取x1+x2时，函数值为 ( )

A. a+c B. a-c C. c D. c

7.已知二次函数y=a(x-h)2，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点(1，-3)，求此函数的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大?

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一、教材分析

本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a>0和a<0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质。

二、学情分析

本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。

三、教学目标

(一)知识与能力目标

1. 经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程;

2. 能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。

(二)过程与方法目标

通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。

(三)情感态度与价值观目标

1. 经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法;

2. 在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。

四、教学重难点

1.重点

通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。

2.难点

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。

五、教学策略与设计说明

本节课主要渗透类比、化归数学思想。对比一般式和顶点式的区别和联系;体会式子的恒等变形的重要意义。

六、教学过程

教学环节(注明每个环节预设的时间)

(一)提出问题(约1分钟)

教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么?那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢?图像又如何?

学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。

目的：由旧有的知识引出新内容，体现复习与求新的关系，暗示了探究新知的方法。

(二)探究新知

1.探索二次函数y=0.5x2-6x+21的函数图像(约2分钟)

教师活动：教师提出思考问题。这里教师适当引导能否将次一般式化成顶点式?然后结合顶点式确定其顶点和对称轴。

学生活动：讨论解决

目的：激发兴趣

2.配方求解顶点坐标和对称轴(约5分钟)

教师活动：教师板书配方过程：y=0.5x2-6x+21=0.5(x2-12x+42)

=0.5(x2-12x+36-36+42)

=0.5(x-6)2+3

教师还应强调这里的配方法比一元二次方程的配方稍复杂，注意其区别与联系。

学生活动：学生关注黑板上的讲解内容，注意自己容易出错的地方。

目的：即加深对本课知识的认知有增强了配方法的应用意识。

3.画出该二次函数图像(约5分钟)

教师活动：提出问题。这里要引导学生是否可以通过y=0.5x2的图像的平移来说明该函数图像。关注学生在连线时是否用平滑的曲线，对称性如何。

学生活动：学生通过列表、描点、连线结合二次函数图像的对称性完成作图。

目的：强化二次函数图像的画法。即确定开口方向、顶点坐标、对称轴结合图像的对称性完成图像。

4.探究y=-2x2-4x+1的函数图像特点(约3分钟)

教师活动：教师提出问题。找学生板演抛物线的开口方向、顶点和对称轴内容，教师巡视，学生互相查找问题。这里教师要关注学生是否真正掌握了配方法的步骤及含义。

学生活动：学生独立完成。

目的：研究a<0时一个具体函数的图像和性质，体会研究二次函数图像的一般方法。

5.结合该二次函数图像小结y=ax2+bx+c(a≠0)的性质(约14分钟)

教师活动：教师将y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。确定函数顶点、对称轴和开口方向并着重讨论分析a>0和a<0时，y随x的变化情况、抛物线与y的交点以及函数的最值如何。

学生活动：仔细理解记忆一般式中的顶点坐标、对称轴和开口方向;理解y随x的变化情况。

目的：体会由特殊到一般的过程。体验、观察、分析二次函数图像和性质。

6.简单应用(约11分钟)

教师活动：教师板书：已知抛物线y=0.5x2-2x+1.5，求这条抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴图像和y轴的交点坐标并确定y随x的变化情况和最值。

教师巡视，个别指导。教师在这里可以用两种方法解决该问题：i)用配方法如例题所示;ii)我们可以先求出对称轴，然后将对称轴代入到原函数解析式求其函数值，此时对称轴数值和所求出的函数值即为顶点的横、纵坐标。

学生活动：学生先独立完成，约3分钟后讨论交流，最后形成结论。

目的：巩固新知

课堂小结(2分钟)

1. 本节课研究的内容是什么?研究的过程中你遇到了哪些知识上的问题?

2. 你对本节课有什么感想或疑惑?

布置作业(1分钟)

1. 教科书习题22.1第6，7两题;

2. 《课时练》本节内容。

板书设计

提出问题画函数图像学生板演练习

例题配方过程

到顶点式的配方过程一般式相关知识点

教学反思

在教学中我采用了合作、体验、探究的教学方式。在我引导下，学生通过观察、归纳出二次函数y=ax2+bx+c的图像性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。整个教学过程主要分为三部分：第一部分是知识回顾;第二部分是学习探究;第三部分是课堂练习。从当堂的反馈和第二天的作业情况来看，绝大多数同学能掌握本节课的知识，达到了学习目标中的要求。

我认为优点主要包括：

1.教态自然，能注重身体语言的作用，声音洪亮，提问具有启发性。

2.教学目标明确、思路清晰，注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。

3.板书字体端正，格式清晰明了，突出重点、难点。

4.我觉的精彩之处是求一般式的顶点坐标时的第二种方法，给学生减轻了一些负担，不一定非得配方或运用公式求顶点坐标。

所以我对于本节课基本上是满意的。但也有很多需要改进的地方主要表现在：

1.知识的生成过程体现的不够具体，有些急于求成。在学生活动中自己引导的较少，时间较短，讨论的不够积极;

2.一般式图像的性质自己总结的较多，学生发言较少，有些知识完全可以有学生提出并生成，这样的结论学生理解起来会更深刻;

3.学生在回答问题的过程中我老是打断学生。提问一个问题，学生说了一半，我就迫不及待地引导他说出下一半，有的时候是我替学生说了，这样学生的思路就被我打断了。破坏学生的思路是我们教师最大的毛病，此顽疾不除，教学质量难以保证。

4.合作学习的有效性不够。正所谓：“水本无波，相荡乃成涟漪;石本无火，相击而生灵光。”只有真正把自主、探究、合作的学习方式落到实处，才能培养学生成为既有创新能力，又能适应现代社会发展的公民。

重新去解读这节课的话我会注意以上一些问题，再多一些时间给学生，让他们去体验，探究而后形成自己的知识。